分子シミュレーション＆インフォマティクス 用語解説

グラフラプラシアン  [ぐらふらぷらしあん] [Graph Laplacian]

グラフラプラシアン（Graph Laplacian）は、グラフ構造を行列として表現するための基礎概念であり、グラフの構造的性質を解析する際に用いられる行列である。頂点と辺からなるグラフに対し、隣接関係や各頂点のつながりやすさといった性質を数値的に扱えるようにする点が特徴で、ネットワーク科学、信号処理、機械学習など幅広い分野で利用される。

グラフラプラシアンは、次数行列 $D$ から隣接行列 $A$ を引くことで定義される：

$$L=D−A$$

ここで、次数行列は各頂点の次数を並べた対角行列、隣接行列は頂点間の接続を表す行列である。この定義により、ラプラシアン行列は実対称かつ半正定値となり、固有値や固有ベクトルがグラフの特徴解析に直接結びつく。例えば、固有値はグラフの連結性を示し、固有ベクトルはクラスタ構造やコミュニティを抽出する際に利用される。

名称に含まれる「ラプラシアン」は、連続空間におけるラプラス作用素に由来し、離散空間であるグラフ上の“なめらかさ”や“変化”を測る演算として機能する。グラフラプラシアンは、構造解析のための基礎的かつ重要な数学的道具である。